1. 행렬(Matrix)

행렬의 정의

 

수들을 직사각형 모양에 행과 열로 배열한것. 이때 각각의 숫자를 행렬의 성분(entry)라고 한다. 

행렬의 정의

 이때 m개의 행과 n개의 열을 갖는 행렬을 보고 이 행렬은 크기(size)가 m*n행렬이라고 한다. 이때 m = n이면 n차 정사각 행렬이라 한다.

따라서 위의 행렬의 크기는 8*6행렬 이다. 

 

행렬의 주대각선은 a11, a22, a33, ... ann이렇게 n행 n열의 원소들의 집합을 일컬어 행렬의 주대각 선이라 한다.

 

 선형 방정식, 선형 연립 방정식

선형 방정식

 각 미지수의 계수와 우항이 실수이고 이때 미지수의 차수가 1차일 때 일차식과 상수항으로 이루어진 방정식을 선형 방정식이라고 한다. 

이 미지수 들에 관해서 위 사진처럼 유한개의 선형 방정식의 모임을 선형 연립 방정식 이라고 한다. 만약 이때, 모든 식의 우항이 0일경우 동차 선형 연립 방정식 이라고 한다. 

이 선형 연립 방정식이 해가 존재하는 경우를 consistent 존재하지 않는 경우를 inconsistent 라고 한다. 

 

선형 연립 방정식의 행렬 표현

 위의 식을 행렬식으로 표현하면

선형 연립 방정식의 행렬 표현

 이런 식이 된다. 보는 것처럼 각 계수들을 행렬식으로 표현하면 된다. 

 

행렬의 상등

행렬의 각 행과 열에 대해 모든 성분이 같을 때 서로 같다 라고 하며 행렬 A,B에 관해 A = B로 나타낼 수 있다.

 

행렬 연산

덧셈

행렬의 덧셈 연산

 행렬의 같은 행과 열의 성분들끼리 더하면 된다. 이렇게 행렬 덧셈의 정의 될라면 두 행렬의 행과 열이 같아야 한다. 즉, 행렬의 크기가 같아야 한다는 말이다.

 

뺄셈도 덧셈과 같은 원리로 동작한다.

뺄셈

행렬의 뺄셈

곱셈

 행렬의 곱셈이 성립하기 위해서는 다음과 같은 성질을 만족 해야만 한다. 

 

행렬 곱 조건

 곱할려는 행렬(B)의 행의 갯수와 곱하는 행렬(A)의 열의 갯수가 같아야 한다. 그렇게 곱한 행렬의 크기는 곱할려는 행렬의 열과 곱하는 행렬의 행의 크기의 곱만큼이 된다.

 

이 말이 무슨말인지 잘 모르겠는가? 아래 그림을 같이 확인하자.

 

행렬의 곱

 

위에서 보는것 처럼 행렬의 곱은 각 행렬의 1행 1열의 성분들의 곱들의 합으로 이루어 진다. C행렬의 2 + 9 는 A행렬의 (2, 3) * B행렬의 (1, 3)이랑 같고 이는 (2, 3) * (1, 3) = (2*1 + 3*3) = (2 + 9) = (11) 이랑 같다. 이렇게 각 A, B행렬의 행과 열의 곱들의 합으로 C의 성분 하나가 만들어 지기에 각 행렬의 행의 크기와 열의 크기가 같아야 하는것 이고, 그렇기 때문에 이렇게 만들어진 C행렬의 크기는 이와 반대로 각 행렬의 열의 크기와 행의 크기가 되는 것 이다.